傅里叶变换和向量分解

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傅里叶变换和向量分解

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【类型】为 : 7-思想方法

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内容【相关主题】: 傅里叶变换，向量

发布时间 : 2026-05-30

更新时间 : 2026-07-09

傅里叶变换的形式

离散傅里叶变换的形式如下：

\begin{aligned} &a_n = \int_{t_1}^{t_2}f(x)\mathrm{sin}(nx) \mathrm{d}x \\ &b_n = \int_{t_1}^{t_2}f(x)\mathrm{cos}(nx) \mathrm{d}x \end{aligned}

其中， $n=1,2,3,4, \cdots$ 。

连续傅里叶变换的形式如下：

F(\omega) = \int_{x_1}^{x_2}f(x)e^{-i\omega t} \mathrm{d}x

其中， $\omega \in \mathbb{C}$ 。

理解傅里叶变换——向量分解的视角

重点

核心思想是，把函数看做是一个拥有无穷维的一个向量（函数的值的数量由定义域中自变量x的数量决定，定义域通常为实数域或实数域的一部分，数字的数量无穷，因此函数向量的维度也是无穷），因此函数可以被无穷个互相正交的基底函数通过线性组合得到。
基底函数通常选择为 $\mathrm{sin}(nx)$ 、 $\mathrm{cos}(nx)$ 、 $e^{i\omega t}$

参考向量的内积形式：

\begin{aligned} \boldsymbol{\vec{a}} \cdot \boldsymbol{\vec{b}} &= a_1 \cdot b_1 + a_2 \cdot b_2 + \cdots \\ &= \sum_{i=1}^{n}a_i \cdot b_i \end{aligned}

其中， $\boldsymbol{\vec{a}} = (a_1,a_2,a_3,\cdots)$ ， $\boldsymbol{\vec{b}} = (b_1,b_2,b_3,\cdots)$ 。

那么，按照上面的核心思想，对于一个离散函数 $\boldsymbol{\vec{f}}(x) = \{f(x_1) , f(x_2),f(x_3),\cdots\}$ 和一个离散的基底向量 $\boldsymbol{\vec{g}}(x) = \{g(x_1),g(x_2),g(x_3),\cdots\}$ ，就能写出这两个离散函数形式的“内积”：

a_n = \sum_{i=1}^{n}f(x_i) \cdot g(x_i)

这个内积就可以被理解为，函数 $f(x)$ 在 $g(x)$ 这个单一的分量维度上投影的值。对于连续函数 $f(x)$ ，求和则变成了积分：

a_n = \int_{x_1}^{x_2}f(x)g(x) \mathrm{d}x

注意

对于这种函数的内积而言，有三个不同的“无穷维向量” ，不要搞混。这三个向量分别是：

由无穷个点 $f(x_i)$ 组成的拥有无穷维向量，即 函数向量 本身，这个是目标函数 $f(x)$ 本身的维度，由定义域 $x_i$ 的维度决定了函数是无穷维
由无穷个基底函数张开的“无穷维的向量空间”，这个是根据函数向量 $f(x)$ 拥有无穷维的特性，且为了尽可能逼近这个目标函数（目标向量）而选择的基底空间。因为除了函数 $f(x)$ ，很多函数能被这些基底函数表示（即很多函数都存在于这个空间中），因此这个空间也被称为 “函数空间” ，
由无穷个系数 $a_n$ 组成的拥有无穷维向量，即 “系数向量” 。因为基底的数量是无穷多个，因此系数的数量也是无穷多个。

当基底函数 $g(x)$ 选择为 三角函数 时，这个内积的计算过程就被称为 傅里叶变换。

在连续傅里叶变换中，通常：
把 $f(x)$ 称为 “时域” 或 “空域” ，用时间 $t$ 代替 $x$ 作为变量，写作 $f(t)$ ，
把 $a_n$ 称为 “频域” ，用频率 $\omega$ 代替 $n$ 作为变量，写作 $\hat{f}(\omega)$ 或 $F(\omega)$ 。

最后更新于 2026-07-09 • Tlonglan